第 23 题
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题目
如题 23-1 图，设 $O$ 为坐标原点，二次函数 $y=-x^2+bx+3$ 的图象经过点 $A(-3,\ 0)$，与 $y$ 轴交于点 $B$，其对称轴与 $x$ 轴交于点 $C$，连接 $AB$，$BC$．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求 $\cos\angle ABC$ 的值；
（3）如题 23-2 图，动点 $P$ 在线段 $AB$ 上，过点 $P$ 作 $AB$ 的垂线 $PQ$，与二次函数在第二象限的图象交于点 $Q$，求 $BP+2PQ$ 的最大值．
先估一下，有几成把握？可以不选
先在纸上写出完整过程。写完可以先核对几个结果，再对照评分要点给自己打分。
对照评分要点，逐条自评评分要点
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⑴ 代入 $A(-3,\ 0)$ 求出 $b=-2$，写出 $y=-x^2-2x+3$3 分
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⑵ 作 $CH\perp AB$，由 $\angle BAO=45^\circ$ 求出 $AH=CH=\sqrt{2}$2 分
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⑵ 求出 $BH=2\sqrt{2}$、$BC=\sqrt{10}$，得 $\cos\angle ABC=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$2 分
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⑶ 设 $Q(t,\ {-t^2}-2t+3)$，作 $QM\parallel y$ 轴，得 $PQ=PM=\dfrac{\sqrt{2}}{2}QM$2 分
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⑶ 凑系数得 $BP+2PQ=BM+PQ$，整理并配方2 分
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⑶ 查范围 $-3<t\leq-1$，顶点在范围内，最大值为 $\dfrac{25\sqrt{2}}{8}$1 分
自评 0 / 12 分
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答案与解析
（1）$y=-x^2-2x+3$；
（2）$\cos\angle ABC=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$；
（3）$BP+2PQ$ 的最大值为 $\dfrac{25\sqrt{2}}{8}$．
答案：本站解答
要点
- 化斜为直：作 $QM\parallel y$ 轴，斜的 $PQ$ 换成竖直的 $QM$：$PQ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}QM$。
- 系数「2」是用来抵消的：$BP+2PQ=BM-PM+PQ+PQ=BM+PQ$。
- 配方之后一定查范围：$-3<t\leq-1$，顶点 $t=-\dfrac{5}{2}$ 在范围内才能取到。
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