第 22 题
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题目
如题 22 图，在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle BAC=90^\circ$，$AC=2\sqrt{5}$，点 $D$ 在 $AB$ 上，且 $BD=3AD$，连接 $CD$．过点 $A$ 作 $CD$ 的垂线交 $CD$ 于点 $E$，交 $BC$ 于点 $F$，连接 $BE$，$AE=2$．
（1）求 $CE$ 的长；
（2）求证：$BD^2=9DE\cdot DC$；
（3）求 $\dfrac{S_{\triangle BEF}}{S_{\triangle BDE}}$ 的值．
先估一下，有几成把握？可以不选
先在纸上写出完整过程。写完可以先核对几个结果，再对照评分要点给自己打分。
对照评分要点，逐条自评评分要点
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⑴ 勾股定理：$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=4$3 分
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⑵ 证 $\triangle ADE\backsim\triangle CDA$2 分
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⑵ 得 $AD^2=DE\cdot DC$，再由 $BD=3AD$ 得出结论2 分
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⑶ 用 $\triangle ABE$ 搭桥，把面积比化成底的比1 分
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⑶ 求出 $DE=1$，$AD=\sqrt{5}$1 分
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⑶ 证 $F$ 是 $BC$ 的中点，得 $EF=3$2 分
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⑶ 算出比值为 $2$1 分
自评 0 / 12 分
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答案与解析
（1）$CE=4$．
（2）证明：$\angle DAC=\angle AED=90^\circ$，$\angle ADE=\angle CDA$，所以 $\triangle ADE\backsim\triangle CDA$，$\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{DE}{AD}$，即 $AD^2=DE\cdot DC$；又 $BD=3AD$，所以 $BD^2=9AD^2=9DE\cdot DC$．
（3）$\dfrac{S_{\triangle BEF}}{S_{\triangle BDE}}=2$．
答案：本站解答
要点
- ⑴ $CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{20-4}=4$。
- ⑵ $\triangle ADE\backsim\triangle CDA$，$AD^2=DE\cdot DC$，再用 $BD=3AD$。
- ⑶ 用 $\triangle ABE$ 搭桥：两个三角形分别与它等高，面积比等于底的比。
- ⑶ 关键：证 $\angle BAF=\angle ABC$，得 $F$ 是 $BC$ 的中点，$EF=3$，比值为 $2$。