第 21 题
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题目
综合与实践
【提出问题】同一平面内，有 $n$ 条直线两两相交，设它们最多有 $m$ 个交点，相交所成的最小角为 $\alpha$．某数学学习小组提出了下列探究问题．
问题一：$m$ 与 $n$ 的关系；
问题二：$\alpha$ 的最大值与 $n$ 的关系．
【特例感知】如题 21-1 图，当 $n=2$ 时，学习小组发现 $m=1$，$\alpha$ 的最大值为 $90^\circ$．
【实验探究】步骤一：动手操作．学习小组画出了当 $n=3$ 时的两种情况，如题 21-2 图，题 21-3 图．
步骤二：观察分析．
（一）由题 21-2 图，题 21-3 图得 $m=3$；
（二）在题 21-2 图中，$\alpha$ 的最大值为 $60^\circ$；
（三）在题 21-3 图中，$\alpha$ 的最大值为 $360^\circ\div 6=60^\circ$．
【规律探索】（1）完成下表：
| $n$ | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| $m$ | 1 | 3 | ||
| $\alpha$ 的最大值 | $90^\circ$ | $60^\circ$ |
【解决问题】（2）①用关于 $n$ 的代数式表示 $m$，直接写出即可；
②$\alpha$ 的最大值与 $n$ 的关系是什么？写出并说明理由．
先在纸上写出完整过程。写完可以先核对几个结果，再对照评分要点给自己打分。
对照评分要点，逐条自评评分要点
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⑴ 表中的 $m$：$6$、$10$1 分
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⑴ 表中 $\alpha$ 的最大值：$45^\circ$、$36^\circ$1 分
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⑵① $m=\dfrac{n(n-1)}{2}$2 分
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⑵② 写出 $\alpha$ 的最大值为 $\left(\dfrac{180}{n}\right)^\circ$2 分
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⑵② 理由：把直线平移到经过同一点，$2n$ 个角的和为 $360^\circ$2 分
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⑵② 理由：最小角不超过平均值，$2n$ 个角都相等时取到1 分
自评 0 / 9 分
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答案与解析
（1）$n=4$ 时，$m=6$，$\alpha$ 的最大值为 $45^\circ$；$n=5$ 时，$m=10$，$\alpha$ 的最大值为 $36^\circ$．
（2）① $m=\dfrac{n(n-1)}{2}$；
② $\alpha$ 的最大值为 $\left(\dfrac{180}{n}\right)^\circ$．理由：把 $n$ 条直线都平移到经过同一点，直线间的夹角不变；这 $n$ 条直线组成 $2n$ 个角，和为 $360^\circ$，所以最小角 $\alpha\leq\dfrac{360^\circ}{2n}=\left(\dfrac{180}{n}\right)^\circ$；当这 $2n$ 个角都相等时取到最大值．
答案：本站解答
要点
- 每加一条直线，它与前面每条直线各交一次：第 $k$ 条新增 $k-1$ 个交点，$m=1+2+\cdots+(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2}$。
- 把所有直线平移到经过同一点，夹角不变；$n$ 条直线组成 $2n$ 个角，和为 $360^\circ$。
- 最小角不超过平均值：$\alpha\leq\left(\dfrac{180}{n}\right)^\circ$，$2n$ 个角都相等时取到。
- 易错：不是 $\dfrac{360^\circ}{n}$——$n$ 条直线组成的是 $2n$ 个角。