第 18 题
讲解视频 · 2:58
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题目
如题 18 图，$AB=BC$，$AE\parallel BC$，连接 $AC$．
（1）尺规作图：在 $AE$ 上作点 $D$，连接 $BD$，使得 $BD$ 平分 $\angle ABC$．（保留作图痕迹，不写作法．）
（2）连接 $CD$，求证：四边形 $ABCD$ 是菱形．
先估一下，有几成把握？可以不选
先在纸上写出完整过程。写完可以先核对几个结果，再对照评分要点给自己打分。
对照评分要点，逐条自评评分要点
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⑴ 尺规作 $\angle ABC$ 的平分线交 $AE$ 于点 $D$，保留作图痕迹3 分
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⑵ 由平行线和角平分线得 $\angle ABD=\angle ADB$，所以 $AB=AD$2 分
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⑵ 由 $AD=BC$、$AD\parallel BC$ 得四边形 $ABCD$ 是平行四边形2 分
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⑵ 再由 $AB=BC$ 得四边形 $ABCD$ 是菱形1 分
自评 0 / 8 分
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答案与解析
（1）作 $\angle ABC$ 的平分线，交 $AE$ 于点 $D$（作图见视频）．
（2）证明：因为 $AE\parallel BC$，所以 $\angle ADB=\angle CBD$；又 $BD$ 平分 $\angle ABC$，所以 $\angle ABD=\angle CBD$，故 $\angle ABD=\angle ADB$，$AB=AD$．
又 $AB=BC$，所以 $AD=BC$．而 $AD\parallel BC$，所以四边形 $ABCD$ 是平行四边形；又 $AB=BC$，所以四边形 $ABCD$ 是菱形．
答案：本站解答
要点
- 尺规作角平分线：以 $B$ 为圆心画弧得 $M$、$N$；再以 $M$、$N$ 为圆心画弧交于 $P$；作射线 $BP$。
- 角平分线 + 平行线 ⇒ 等腰三角形：$\angle ABD=\angle CBD=\angle ADB$，所以 $AB=AD$。
- $AD=BC$ 且 $AD\parallel BC$ ⇒ 平行四边形；又 $AB=BC$ ⇒ 菱形。